Musisz się wgłębić w dokumentację…
zarówno w ESPHome jak i w HA poszczególne rozwiązania to tzw. Integracje
komponent homeassistant z punktu widzenia ESPHome jest właśnie Integracją
natomiast API jest przede wszystkim “transportem danych” w obie strony (jako inny przykład takiego “transportu” było tu wyżej wspomniane MQTT)
Wchodzisz na stronę ESPHome i szukasz w przeglądarce po słowie “Home Assistant” i masz od razu wszystko co jest gotowe do wykorzystania w ESPHome z HA, reszta zaawansowanej integracji możliwa jest przez API albo poprzez MQTT, aktualnie idea ESPHome jest taka aby integrowało się z HA bezpośrednio, np. bez wykorzystywania MQTT.
Zabawny przykład wykorzystania API w ESPHome - ESPHome: brzęczyk w ESP32 .